En ce jour de grève, quoi de mieux que de jouer aux dés en faisant des coloriages ?
La treizième solution au paradoxe de Fermi présentée par Stephen Webb [1] fait référence au texte de Geoffrey A. Landis "The Fermi Paradox: An Approach Based on Percolation Theory" [2].
G. Landis établit les règles du jeu suivantes :
Imaginons que chaque carré de la Tour Eiffel dessinée par Catherine Bertrand dans l'AntiMandala [3] soit une civilisation. Dans un premier cas (à gauche), je dis qu'il y a une probabilité p=0.4 qu'elle ait envie de coloniser les étoiles voisines. Dans le second cas, p=0.6. Je lance donc un dé et je colorie la case uniquement si je fais 0 1 2 ou 3 (à gauche) et 0 1 2 3 4 ou 5 (à droite).
Si je fais 2, je colorie les 2 dessins.
Si je fais 4 (ou 5) je ne colorie que celui de droite (p=0.6)
C'est une théorie complexe, que je ne prétends pas expliquer ici (et que je ne maîtrise pas forcément non plus). Stéphane Pajot a redigé une thèse sur le sujet "Percolation et économie" [4]. La théorie de la percolation est aussi utilisée pour combattre les feux de forêt, bref, c'est bien plus compliqué que ce que j'utilise ici pour expliquer pourquoi aucun extraterrestre n'est venu nous rendre visite à ce jour.
Si je reprends la Tour Eiffel de Catherine Bertrand, le résultat est le suivant :
Avec p=0.4, le petit bonhomme n'arrivera jamais au sommet en ne passant que sur des cases colorées. Avec p=0.6, il se trouve un chemin...
La théorie de la percolation consiste donc à trouver la limite pc à partir de laquelle il est possible de trouver un chemin.
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9
Il y a aussi pas mal de noir, ou de carrés bleus isolés. Si le Soleil se trouve sur l'un d'entre eux, on ne risque pas d'avoir de la visite d'extraterrestre.
p=0.7
p=0.8
p=0.9
Pour ma part, j'ai écrit quelques lignes de code php pour générer les images (remplacer 0.35 par n'importe quelle valeur dans l'URL ci-dessous) :
http://setileague.free.fr/math/fermi.php?p=0.35
#Taille de l'image (nombre de carrés) :$h=42;
$w=64; # Je multiplie par 100 la valeur rentrée (par exemple ça fait 35 et je la converti en entier)
$p100=$p*100;
settype ($p100, "integer");
# Je créé une image
$largeur=$w*15;
$hauteur=$h*15;
$img = imageCreateTrueColor ($largeur,$hauteur);
# Je défini les couleurs (noir, gris bleu)
$gris = imageColorAllocate ($img, 20, 20, 50);
for ($j=0;$j<$h;$j++) {
for ($i=0;$i<$w;$i++) {
# Je choisis un nombre au hasard entre 0 et 99
$quoi= rand (0,99);
$x=$i*15+1;
$x1=$x+13;
$y=$j*15+1;
$y1=$y+13;
if ($quoi < $p100)
# s'il est plus petit que p100 (35), je le colorie en bleu, sinon en noir
imagefilledrectangle ($img, $x, $y, $x1, $y1, $bleu);
else
imagefilledrectangle ($img, $x, $y, $x1, $y1, $noir);
}
}
header('Content-type:' . image_type_to_mime_type(IMAGETYPE_JPEG));
imageJPEG($img);
imageDestroy($img);
La treizième solution au paradoxe de Fermi présentée par Stephen Webb [1] fait référence au texte de Geoffrey A. Landis "The Fermi Paradox: An Approach Based on Percolation Theory" [2].
G. Landis établit les règles du jeu suivantes :
- Le voyage interstellaire est difficile mais pas impossible. Pour une civilisation, il y a un nombre fini d'étoiles qu'elle peut atteindre (par exemple 5 si on prend les étoiles à moins de 30 années lumières du soleil) si sa culture la pousse à coloniser l'univers.
- Une fois arrivée autour d'une étoile la colonie est faible. Il lui faut du temps pour s'installer. Sa culture est indépendante de la première civilisation, et elle peut décider de ne pas coloniser d'autres étoiles.
- Une colonie ne peut pas s'établir sur un monde qui est déjà colonisé. Envahir une planète à un distance interstellaire est improbable.
Il définit donc une probabilité p qu'une civilisation se développe pour devenir colonisatrice et 1-p pour qu'elle ne le soit pas.
Par exemple, si j'ai un dé à 10 faces, si je le lance, je peux tomber sur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9.
Qu'est-ce qu'une probabilité ?
Par exemple, si j'ai un dé à 10 faces, si je le lance, je peux tomber sur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9.
- J'ai donc 4 chances sur 10 de faire 0 1 2 ou 3. Ce qui donne une probabilité p=0.4.
- J'ai donc 6 chances sur 10 de faire 0 1 2 3 4 ou 5. Ce qui donne une probabilité p=0.6.
Imaginons que chaque carré de la Tour Eiffel dessinée par Catherine Bertrand dans l'AntiMandala [3] soit une civilisation. Dans un premier cas (à gauche), je dis qu'il y a une probabilité p=0.4 qu'elle ait envie de coloniser les étoiles voisines. Dans le second cas, p=0.6. Je lance donc un dé et je colorie la case uniquement si je fais 0 1 2 ou 3 (à gauche) et 0 1 2 3 4 ou 5 (à droite).
Si je fais 2, je colorie les 2 dessins.
Si je fais 4 (ou 5) je ne colorie que celui de droite (p=0.6)
Qu'est-ce que la théorie de la percolation ?
Un percolateur, c'est ma machine à café, c'est-à-dire c'est l'eau qui se déplace du bas, jusqu'à la partie avec le café moulu, pour finalement atteindre grâce à la pression la partie du haut.
C'est une théorie complexe, que je ne prétends pas expliquer ici (et que je ne maîtrise pas forcément non plus). Stéphane Pajot a redigé une thèse sur le sujet "Percolation et économie" [4]. La théorie de la percolation est aussi utilisée pour combattre les feux de forêt, bref, c'est bien plus compliqué que ce que j'utilise ici pour expliquer pourquoi aucun extraterrestre n'est venu nous rendre visite à ce jour.
Si je reprends la Tour Eiffel de Catherine Bertrand, le résultat est le suivant :
Avec p=0.4, le petit bonhomme n'arrivera jamais au sommet en ne passant que sur des cases colorées. Avec p=0.6, il se trouve un chemin...
La théorie de la percolation consiste donc à trouver la limite pc à partir de laquelle il est possible de trouver un chemin.
Percolation intergalactique
Si l'univers était plat (en 2D), et que chaque civilisation (un carré) puisse coloniser 8 étoiles voisines (les 8 carrés autour), ça pourrait ressembler à quelque chose comme ça avec différentes valeurs de p :0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9
p=0.1
Si la probabilité de devenir une civilisation colonisatrice est de 0.1, notre galaxie en 2D pourrait ressemble à ça. Une civilisation colonisatrice (le carré jaune), pourrait donner naissance à une seule autre civilisation colonisatrice (le carré jaune à côté). Tous les carrés noirs sont des civilisations qui restent sur leur planète. Donc si p=0.1, nous ne sommes pas seuls dans l'univers (il y a plein de carrés noirs), mais il y a trop peu de civilisations ayant envie de nous coloniser pour que nous ayons de la visite.
p=0.2
Avec p=0.2 et N=8 (une civilisation peut générer 8 autres civilisations), on voit qu'une civilisation (les points jaunes) peut s'étendre un peu plus dans la galaxie, sans pour autant arriver jusqu'à la tour Eiffel.
p=0.3
Avec p=0,3 (en gros, si une civilisation a une chance sur 3 d'avoir une culture de colonisateur), on commence à voir apparaître des espèces d'amas, c'est-à-dire des zones de la galaxie avec beaucoup de civilisations colonisatrices. En jaune clair, c'est si N=8 (on compte aussi les "coins"). En orange, quelques exemples avec N=4 (un civilisation colonisatrice a 4 étoiles autour d'elle sur laquelle donnée naissance à une civilisation fille qui sera ou non colonisatrice).
Il y a aussi pas mal de noir, ou de carrés bleus isolés. Si le Soleil se trouve sur l'un d'entre eux, on ne risque pas d'avoir de la visite d'extraterrestre.
p=0.4
Il devient possible que des extraterrestres nous rendent visite s'il y a assez d'étoiles (N=8) et si on se trouve dans le même coin de la galaxie.
p=0.5
p=0.6
Si les civilisations ont 2 chances sur 3 de devenir colonisatrices, c'est sûr, on devrait les voir...
p=0.7
p=0.8
p=0.9
Simulations
Dans son article [2]., Geoffrey A. Landis utilise de la simulation en 3D (la galaxie n'est pas en 2D).Pour ma part, j'ai écrit quelques lignes de code php pour générer les images (remplacer 0.35 par n'importe quelle valeur dans l'URL ci-dessous) :
http://setileague.free.fr/math/fermi.php?p=0.35
#Taille de l'image (nombre de carrés) :$h=42;
$w=64; # Je multiplie par 100 la valeur rentrée (par exemple ça fait 35 et je la converti en entier)
$p100=$p*100;
settype ($p100, "integer");
# Je créé une image
$largeur=$w*15;
$hauteur=$h*15;
$img = imageCreateTrueColor ($largeur,$hauteur);
# Je défini les couleurs (noir, gris bleu)
$gris = imageColorAllocate ($img, 20, 20, 50);
$noir = imageColorAllocate ($img, 0, 0, 0);
$bleu = imageColorAllocate ($img, 100, 100, 255);
# Je rempli l'image en gris
imagefill ($img, 0, 0, $gris);for ($i=0;$i<$w;$i++) {
# Je choisis un nombre au hasard entre 0 et 99
$quoi= rand (0,99);
$x=$i*15+1;
$x1=$x+13;
$y=$j*15+1;
$y1=$y+13;
if ($quoi < $p100)
# s'il est plus petit que p100 (35), je le colorie en bleu, sinon en noir
imagefilledrectangle ($img, $x, $y, $x1, $y1, $bleu);
else
imagefilledrectangle ($img, $x, $y, $x1, $y1, $noir);
}
}
header('Content-type:' . image_type_to_mime_type(IMAGETYPE_JPEG));
imageJPEG($img);
imageDestroy($img);
Oui mais...
Si p est inférieure à une valeur critique, il est donc évident que nous n'avons pas pu avoir de visites de civilisations extraterrestres. Cependant, ne devrait-on pas entendre leurs échanges via des ondes radio ?
- Stephen Webb , "If the Universe Is Teeming with Aliens ... WHERE IS EVERYBODY? Seventy-Five Solutions to the Fermi Paradox and the Problem of Extraterrestrial Life" Springer, 2015. ISBN 978-3-319-13236-5
- Geoffrey A. Landis "The Fermi Paradox: An Approach Based on Percolation Theory". Journal of the British Interplanetary Society, London, Volume 51, page 163-166 (1998).
- Catherine Bertrand, L'AntiMandala, La Martinière (Ed). ISBN : 978-2-7324-8930-8
- Stéphane Pajot, "Percolation et économie", 2001
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