Comme je le soupçonnais dans mon dernier billet [1], la réussite du vol de démonstration de Falcon Heavy, c'est beaucoup plus qu'une voiture rouge dans l'espace. Ce sont des enfants qui se mettent à rêver de voyage vers Mars, et ça, cela n'a pas de prix. [2]
Elon Musk a peut-être même fourni le prochain sujet de l'épreuve de physique au bac S. [3]
Parce que c'est amusant (non ?) et que tout le monde n'a pas la chance d'être ou d'avoir été en terminale S, je propose de le résoudre. Attention, je ne suis pas prof, et il n'est pas impossible qu'il y ait des erreurs. Dans ce cas, merci de me le signaler !
Voilà le document fourni par Elon Musk :
Qu'est-ce que nous dit Elon Musk ?
Dans ce document, la première chose que l'on remarque, c'est que la voiture ne décrit pas un cercle, mais une ellipse, dont le soleil est l'un des foyers. C'est la première loi de Kepler. Starman n'ira donc pas se balader à travers la galaxie (à moins que quelqu'un le pousse). Il fera toujours le même circuit.
Elon Musk nous indique le point le plus éloigné du Soleil, ou aphélie. Sa distance en unités astronomique (AU) est de 2,61 AU. Cela correspond à la ceinture d'astéroïde. L'aphélie de l'astéroïde Vesta est à 2,57 UA. Sur son document, Elon Musk a représenté la trajectoire de Cérès, dont l'aphélie est à 2,978 UA.
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| NASA / JPL / MPS / DLR / IDA / Björn Jónsson |
Le point le plus proche du soleil, ou périhélie est à 0,98 UA. L'unité astronomique (UA) correspond à la distance entre la Terre et le Soleil, soit 150 millions de kilomètres (149 597 870 700 m si l'on veut être précis) [5].
En bas à droite du document, Elon Musk donne l'échelle :
Par la suite, on va utiliser cette valeur : 0,5 AU = 74 798 935 km
On peut en déduire :
- 1 AU = 74 798935 * 2 km = 149 597 870 000 m (à 700m près, de la valeur officielle).
- 0.98 AU = 146 605 912 600 m
- 2.61 AU = 390 450 440 700 m
La troisième loi de Kepler
On veut calculer la période de révolution de Starman, c'est-à-dire le temps qu'il met pour faire un tour de soleil... La période de révolution de la Terre autour du soleil est de 365 jours, celle de mars de 687 jours, celle de Vesta de 1325 jours, celle de Cérès de 1680 jours. Il est difficile de deviner la réponse en comparant aux planètes et astéroïdes connus. On peut juste se dire que si l'on trouve plus de 1680 jours ou moins de 365 jours, c'est qu'il y aura une erreur.
Il n'est pas nécessaire d'être allé en terminale scientifique pour connaître les lois de Kepler. Il suffit d'ouvrir le guide du routard galactique (avec sa couverture "Don't panic") ou à défaut Wikipédia [6]
T est ce que l'on cherche à calculer (la période de révolution).
k est une constante (on verra plus tard)
a est le demi-grand axe de l'ellipse, c'est-à-dire la moitié de la distance entre l'aphélie et le périhélie.
Si on connait a et k, c'est facile de trouver T.
Calculons a
Pour calculer la distance entre le périhélie et l'aphélie, il suffit d'additionner les deux valeurs données par Elon Musk. Comme a est le demi-grand axe, il faut ensuite diviser par deux.a = (0.98 + 2,61) / 2 = 1.795 AU
Si on le veut en mètres,
a = 1.795 * 149 597 870 000 = 268 828 176 700 m
Trouvons k
Le guide de voyageur galactique [6] nous indique que :
Avec G la constante gravitationnelle, et M la masse du soleil.
Le guide galactique [7] précise qu'il existe plusieurs valeurs de G selon les années. G correspond à la force entre deux masses d'un kg chacune distantes d'un mètre. La valeur recommandée est : G = 6,67408. 10-11 m3 kg-1 s-2 avec un incertitude standard de 0,00031 .10-11 m3 kg-1 s-2 . Mais en 2014, une étude a mesuré G = 6,67234. 10-11 m3 kg-1 s-2 avec un incertitude standard de 0,00014 .10-11 m3 kg-1 s-2 .
Pour faire simple, on prendra G = 6,67.10-11 m3 kg-1 s-2
Combien pèse le soleil ? Il suffit de poser la question à Google.
La réponse est : M = 1,989 . 1030 kg
Donc k= 2.975.10-19 s2m-3
Trouvons T
Maintenant que l'on connait k et a, on peut calculer T.T2 = k. a3 = 5.7619 * 1015 s2
Si on prend la racine, on a
T = 75907441 s
Comme ça fait beaucoup de secondes, on peut diviser par 60 pour avoir ce temps en minutes, encore par 60 pour l'avoir en heures (21085), et encore par 24 pour avoir des jours.
T=878,55 jours
Ça fait donc deux années et 148 jours (ou 2,4 ans).
Jouons avec un simulateur d'orbites.
Starman étant parti le 6 février, c'est le 37ième jour de l'année 2018 [8], on va dire que cela correspond à l'aphélie. Il devrait donc revenir au plus près de la Terre dans 2 ans, en 2020 (qui est une année bissextile), au 185ième jour de l'année (37+148), c'est-à-dire le 27 mai 3 juillet 2020.
On peut utiliser un simulateur d'orbites pour le vérifier [9].
On observe un périhélie à 0,979 AU le 16 juin 2020. La voiture ne risque pas de heurter la Terre à ce moment là. Elle en sera à 1,888 AU.
Les valeurs ne sont pas tout à fait les mêmes, mais cela peut venir d'imprécisions, du simulateur ou de mes calculs...
Elon Musk aurait exagéré ?
Mise à jour le 10 février à 11h :
Il semblerait que l'orbite indiquée par Elon Musk ne soit pas la bonne. La dernière mise à feu des moteurs aurait fonctionné un peu trop bien. D'après cet article, Starman va bien dépasser l'orbite de Mars, mais n'atteindra pas la ceinture d'astéroïdes [10], puisqu'il ira au plus à 160 millions de miles du soleil, c'est-à-dire 257 millions de km (et non 290 millions comme annoncé).
Si on va sur le site du JPL (Jet Propulsion Laboratory) [11] et que l'on tape --143205, on obtient des positions de Starman différentes.
On obtient alors des prévisions de la position de Starman jusqu'au 12 mars 2018. A suivre...
Ephemeris / WWW_USER Sat Feb 10 10:22:05 2018 Pasadena, USA / Horizons
***********************************************************************
Target body name: SpaceX Roadster (spacecraft) (-143205) {source: tesla_s5}
Center body name: Earth (399) {source: DE431mx}
Center-site name: GEOCENTRIC
************************************************************************
Start time : A.D. 2018-Feb-10 00:00:00.0000 UT
Stop time : A.D. 2018-Mar-12 00:00:00.0000 UT
Step-size : 1440 minutes
************************************************************************
Units conversion: 1 au= 149597870.700 km, c= 299792.458 km/s, 1 day= 86400.0 s
**************************************************************************************************************
Date__(UT)__HR:MN R.A._(ICRF/J2000.0)_DEC APmag S-brt delta deldot S-O-T /r S-T-O
**************************************************************************************************************
$$SOE
2018-Feb-10 00:00 14 36 24.00 -27 08 52.8 17.25 n.a. 0.00641636396125 3.5584512 95.5839 /L 84.0463
2018-Feb-11 00:00 14 37 51.06 -27 04 51.2 17.82 n.a. 0.00846069334766 3.5241690 96.2944 /L 83.2186
2018-Feb-12 00:00 14 38 41.59 -27 02 15.5 18.26 n.a. 0.01048862228566 3.5002918 97.1248 /L 82.2726
2018-Feb-13 00:00 14 39 12.84 -27 00 20.2 18.60 n.a. 0.01250438739978 3.4815031 98.0189 /L 81.2646
2018-Feb-14 00:00 14 39 32.32 -26 58 44.8 18.89 n.a. 0.01451019270543 3.4655465 98.9521 /L 80.2189
2018-Feb-15 00:00 14 39 43.86 -26 57 18.6 19.13 n.a. 0.01650732216746 3.4513259 99.9119 /L 79.1483
Commentaires
Bel article, bravo!
Les calculs pour aboutir à la période de révolution sont les bons, en revanche le 185ème jour de l'année 2020 est le 3 juillet. Ce qui n'est pas plus satisfaisant par rapport à la date obtenue avec le simulateur... En fait le simulateur ne permet pas d'avoir la date exact du passage par le périhélie, je dirais qu'on peut la mesurer à +/- 15 jours.
La date que vous avancez, le 16 juin +15 jours nous donne le 1er juillet. Nous ne sommes plus très loin!
Dernière petite remarque malgré la grande qualité de votre article, une phrase est un peu mal tournée et pourrait porter à confusion: "G dépends des années". Non: la valeur de G a mis à certain temps à être convenablement établie mais c'est bien une constante dont la valeur est fixée à 6.67x10^-11 N.m².kg-².
Bien cordialement,
Profduthoit