Bac 2018 : la mission Proxima

Il y a quelques mois, les candidats au bac S au Liban [1] ont planché sur la mission Proxima à laquelle a participé Thomas Pasquet.

Le sujet explique tout d'abord comment se déroule un lancement de la fusée Soyouz. Celle ci-va mettre le module Soyouz en orbite basse, à une altitude de hs=220km. Les rayons de la terre Rt = 6380 km et la période orbitale du module Soyouz, Ts = 88,66 min sont connus.

1- Orbites du module Soyouz et de l'ISS.


1.1 - On doit calculer la vitesse de Soyouz sur son orbite basse, en considérant que l'orbite est circulaire.


La vitesse, c'est la distance parcourue (en bleu et en mètres) divisée par le temps mis pour faire ce chemin, c'est à dire la période orbitale (que l'on connait, mais qu'il faut mettre en secondes).

La distance parcourue, c'est le périmètre du cercle de rayon (RT + hs).

La calculatrice indique Vs=7,8 km/s




1.2 Il suffit d'appliquer la troisième loi de Kepler à l'ISS et au Soyouz. Les orbites étant considérées comme circulaires, le demi grand axe (a) est égal à la somme du rayon de la Terre et de l'altitude du Soyouz ou de l'ISS.


1.3 On peut en déduire la période sidérale Tiss de l'ISS.


Cela donne une période de 93 minutes, ce qui correspond à la réalité (l'application ISS Spotter est assez sympa pour savoir quand la station passe sur nos têtes)

Une fois que l'on connait la période orbitale, on peut calculer la vitesse de la station spatiale par la même méthode que précédemment. On obtient 7,67 km/s.


2- Orbite de transfert.


2.1 La deuxième loi de Kepler indique que le segment reliant la Terre à Soyouz balaye des aires égales pendant des durées égales.


En quoi cette loi permet-elle de montrer que V2<V1 ? "C'est évident, regarde le schéma patate" n'est sans doute pas la réponse attendue par le correcteur.

Pendant 1 seconde, Soyouz aura parcouru V1 mètres sur l'orbite basse, et le segment aura balayé la surface orange ; le module aura parcouru V2 mètres sur l'orbite haute, correspondant à la surface bleue.  Vu que le rayon du cercle correspondant à l'orbite haute est plus grand, mon grand-père agriculteur m'indique en enlevant les doryphores de ses plans de patate que les surfaces ne peuvent être égales que si V2<V1.

2.2 À propos de l'énergie potentielle : c'est des maths !


2.3 L'énergie mécanique est constante car le module Soyouz n'est soumis qu'à la force de gravitation, qui est conservative.

2.4 L'énergie mécanique étant la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique, comme l'énergie potentielle en B est supérieure à l'énergie potentielle en A, l'énergie cinétique en A est supérieure à l'énergie cinétique en B, la variation d'énergie cinétique est donc négative.

L'énergie cinétique est égale à la motié de la masse du module Soyouz multipliée par le carré de la vitesse.

Comme mon grand père m'a montré que V2<V1, on retombe sur nos pieds.

2.5 L'énergie potentielle en A s'exprime comme ci-dessous :



2.6 L'énergie mécanique ne variant pas, on peut calculer V2 si on connait V1.

Et pour revoir le décollage, c'est ici :

 




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